رياضيات: مفـهـوم - الاحتمالات والإحصاء

[أ.رحاب]

بســم الله الرحمــن الرحيــم

المفاهيم العلمية: اختبار التحصيلي العلمي - ريـاضيـات

مفـهـوم: الاحتمالات والإحصاء

سنستذكر في هذه الجزئية ما يأتي:

- استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة.
- استعمال التباديل والتوافيق في حساب الاحتمال.
- إيجاد الاحتمال باستعمال الطول والمساحة.
- إيجاد احتمال الحوادث المستقلة وغير المستقلة.
- إيجاد احتمال حادثة إذا علم وقوع حادثة أخرى.
- إيجاد احتمال الحوادث المتنافية وغير المتنافية.
- إيجاد احتمال متممة حادثة.
- التحليل الإحصائي بالدراسات التجريبية أو المسحية أو بالملاحظة وبيان العينة المتحيزة.
- استخدام مقاييس النزعة المركزية وتطبيقها.
- استخدام مقاييس التشتت وتطبيقها.
- إيجاد احتمال النجاح والفشل لوقوع حادثة.
- إيجاد القيمة المتوقعة في تجربة ما.
- ذكر خصائص التوزيع الطبيعي.
- تصنيف بيانات التوزيع إلى التواء موجب أو التواء سالب أو موزعة توزيعاً طبيعياً.
- تعرف القانون التجريبي وتطبيقه.
- استعمال شروط تجربة ذات الحدين.
- استعمال صيغة احتمال ذات الحدين.
- إيجاد الوسط المتباين والانحراف المعياري لتوزيع ذات الحدين.
- تقريب توزيع ذات الحدين إلى توزيع طبيعي.

المصدر: مركز قياس

[أ.رحاب]

فضاء العينة

. فضاء العينة .

مثال:

يحتوي صندوق على ثلاث كرات: حمراء, زرقاء وبيضاء, وفي كل كرة توجد ورقة كتب عليها نوع الجائزة, وأراد متسابق فائز أن يختار كرة بصورة عشوائية من الصندوق, فقد تكون الكرة المسحوبة حمراء أو زرقاء أو بيضاء.

- التجربة: التجربة في المثال السابق هي اختيار كرة بصورة عشوائية من بين ثلاث كرات.
- النواتج: النواتج الممكنة أي (فضاء العينة) هي: كرة حمراء أو زرقاء أو بيضاء.
- الحادثة: إحدى حوادث هذه التجربة ظهور الكرة الزرقاء.

* الرسم الشجري للتجارب متعددة المراحل:

مثال:

يقدم مطعم ثلاثة أنواع من اللحوم هي: لحم غنم - لحم بقر - لحم حاش.
ويقدم أيضاً ثلاثة أنواع من المشوربات هي: عصير برتقال - عصير ليمون - عصير مانجا.
ويقدم كذلك نوعين من الحلويات هما: جاتو - كنافة.
بكم طريقة يمكن لشخص اختيار وجبة طعام, على أن تحتوي نوعاً واحداً من اللحوم ونوعاً واحداً من المشروبات, ونوعاً واحداً من الحلويات؟

الحل:

* مبدأ العدد الأساسي:

يمكن إيجاد عدد النواتج الممكنة لفضاء العينة, بضرب عدد النواتج الممكنة في كل مرحلة من مراحل التجربة.

في المثال السابق:
- عدد طرق اختيار اللحم, هو 3
- عدد طرق اختيار العصير, هو 3
- عدد طرق اختيار الحلويات, هو 2
لذلك يكون عدد عناصر فضاء العينة يساوي: 3 × 3 × 2 = 18

[أ.رحاب]

حساب التبادل والتوافيق

. حساب التبادل والتوافيق .

مثال:
أراد مدرس اختيار ثلاثة طلاب بصورة عشوائية من بين 10 طلاب
على أن يكون أحدهم رائداً للنشاط العلمي, وآخر رائداً للنشاط الثقافي, وآخر رائداً للنشاط الرياضي,
بكم طريقة يمكنه عمل ذلك؟

* مفاهيم أساسية:

1- المضروب: يكتب مضروب العدد الصحيح الموجب n على الصورة !n , حيث:

2- التباديل: تبديل مجموعة غير خالية هو ترتيب معين لعناصرها, حيث يرمز إلى عدد تباديل n من العناصر المتمايزة, مأخوذة r في كل مرة بالرمز حيث:

في مثال المدرس, نلاحظ أن ترتيب اختيار الطلاب الثلاثة مهم جداً, وبذلك تكون النواتج الممكنة في فضاء العينة, تساوي تباديل 10 طلاب أخذ منها 3 في كل مرة, أي:

وفي المسائل التي يكون فيها الترتيب مهماً, يمكن إيجاد عدد النواتج الممكنة في فضاء العينة, باستخدام التباديل أو استخدام مبدأ العد.
حيث أن:
- عدد طرق اختيار المدرس رائداً للنشاط العلمي في المرحلة الأولى: هو 10
- عدد طرق اختيار المدرس رائداً للنشاط الثقافي في المرحلة الثانية: هو 9
- عدد طرق اختيار المدرس للنشاط الرياضي في المرحلة الثالثة: هو 8
وباستخدام مبدأ العدد, يكون عدد النواتج في فضاء العينة يساوي: 10 × 9 × 8 = 720

3- التوافيق: (هنا الترتيب غير مهم), ويرمز إلى عدد توافيق n من العناصر المتمايزة r مأخوذة في كل مرة, بالرمز

مثال:

يريد أبو تركي اختيار ثلاثة عمال بصورة عشوائية من بين 10 عمال في السوق لطلاء منزله, بكم طريقة يمكنه عمل ذلك؟

الحل:
نلاحظ هنا أن الترتيب غير مهم,
فاختيار أبو تركي للعمال: يوسف, وجمال, وبدر, لا يختلف إذا كان اختياره لبدر ويوسف وجمال: لأنهم العمال الثلاة أنفسهم.
وبذلك يكون عدد نواتج فضاء العينة هو

[أ.رحاب]

الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق

. الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق .

مثال:

يتكون مجلس إدارة شركة من 8 أعضاء, ويراد اختيار ثلاثة أعضاء بصورة عشوائية, بحيث يكون أحدهم مديراً, والثاني مساعداً, والثالث كاتباً,

فإذا كان كل من عزام ويوسف ومشاري أعضاء في مجلس الإدارة, فما احتمال أن يتم اختيار هؤلاء الثلاثة على الترتيب مديراً, مساعداً, كاتباً؟

الحل:

بما أن الترتيب مهم, فإن عدد النواتج الممكنة لترتيب أعضاء مجلس الإدارة. هو تبادل 8 أعضاء مأخوذة 3 في كل مرة, أي

والحالة التي يكون فيها عزام مديراً, ويوسف مساعداً, ومشاري كاتباً, هي حالة واحدة من 336 حالة,

وبذلك يكون احتمال اختيار عزام ويوسف ومشاري يساوي (1/ 336).

* مفاهيم أساسية:

1- التباديل مع التكرار: عدد التباديل المتمايزة لعناصر عددها n, عندما يتكرر عنصر منها r1 مرة وعنصر آخر r2 مرة, وهكذا فإنه يساوي:

مثال: ما احتمال أن يكون 55865613 رقماً لهاتف مكون من 8 أرقام, هي: 6 , 5 , 3 , 6 , 5, 5, 1 , 8 ؟

الحل:
هناك 8 أرقام يتكرر فيها الرقم 5 ثلاث مرات (r1), والرقم 6 مرتين (r2), وبذلك يكون عدد التباديل المتمايزة لهذه الأرقام هو:

واحتمال أن يكون الرقم هو 55865631 يساوي (1/ 3360) .

2- التباديل الدائرية: عدد تباديل n من العنصر مرتبة على دائرة, دون نقطة مرجع ثابتة, يساوي !(n-1) وإذا رتبت بالنسبة إلى نقطة مرجع ثابتة, يكون عدد تباديلها يساوي !n (تبديل خطي).

مثال: إذا رتبت 5 أكواب عصير مختلفة بصورة عشوائية في طبق مستدير, فما احتمال ظهورها كما في الشكل المجاور؟

الحل:
بما أنه لا توجد نقطة مرجع ثابتة, فإن هذا تبديل دائري, لذلك يوجد !(1-5) من التباديل المختلفة لهذه الأكواب, وعليه فإن احتمال ظهورها كما في الشكل, هو:

[أ.رحاب]

الاحتمال الهندسي

. الاحتمال الهندسي .

مثال:
عندما يضرب نيزك قارة من قارات العالم السبع, فإن احتمال سقوطه في قارة معينة, يعتمد على مساحة تلك القارة,
والاحتمال الذي يتضمن قياساً هندسياً, مثل الطول أو المسافة يسمى احتمالاً هندسياً.

* مفاهيم أساسية:

1- الاحتمال والطول:
إذا احتوت قطعة مستقيمة عدة قطع مستقيمة كما في الشكل التالي, واختيرت نقطة بصورة عشوائية على القطعة المستقيمة AB
فإن احتمال وقوعها على القطعة AC يساوي: [ طول القطعة المستقيمة AC ÷ طول القطعة المستقيمة AB ].

2- الاحتمال والمساحة:
إذا احتوت المنطقة A عدة مناطق كما في الشكل المجاور, واختبرت النقطة x عشوائياً من المنطقة A
فإن احتمال أن تقع النقطة x في المنطقة C يساوي: [ مساحة المنطقة C ÷ مساحة المنطقة A ].

مثال:
في إحدى المسابقات, يقوم المتسابق الفائز بتدوير القرص في الشكل المجاور للحصول على جائزته. "وإذا استقر القرص على الخط الفاصل, يعاد التدوير"
ما احتمال فوز المتسابق بالسيارة؟

الحل:
احتمال فوزه بالسيارة هو:
36ْ/ 360ْ = 1/ 10 = 10%

[أ.رحاب]

الحوادث المستقلة والحوادث المتنافية

. الحوادث المستقلة والحوادث المتنافية .






مثال:
في إحدى المسابقات الدولية للرماية, أطلق كل من أحمد وسعود طلقة نحو الهدف,
ونلاحظ أن احتمال إصابة سعود للهدف لاتعتمد بأي حال من الأحوال على إصابة أحمد أو عدم إصابته للهدف,
فمثل هذه الحوادث تسمى حوادث مستقلة.

* مفاهيم أساسية:

1- الحوادث المستقلة: تكون A و B حادثتين مستقلتين, إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث B.
2- الحوادث غير المستقلة: تكون A و B حادثتين غير مستقلتين, إذا كان احتمال حدوث A يغير بطريقة ما احتمال حدوث B .

مثال:

يحتوي صندوق على 7 كرات حمراء, و 6 كرات بيضاء, سحبت من الصندوق كرتان بصورة عشوائية.

أ) السحب مع الإرجاع: بما أن السحب مع الإرجاع, فإن عناصر فضاء العينة لم تتأثر بسحب الكرة الأولى, وبذلك يكون الحادثان مستقلين.
ب) السحب دون إرجاع: عند سحب كرة من صندوق دون إرجاعها, فإن سحب الكرة الثانية يعتمد على فضاء العينة الجديد, والتي نقصت كرة, وبذلك يكون الحادثان (سحب الكرة الأولى وسحب الكرة الثانية) غير مستقلين.
ونلاحظ مما سبق, أن الحوادث المستقلة وغير المستقلة تتضمن احتمالات تقاطع حادثتين أو أكثر.

الحوادث المتنافية:

اختلف ومازن في سيارة أي منهما يذهبان لحضور مباراة في الدوري المحلي, واتفقا على إلقاء مكعب متجانس, على أوجهه الأرقام من 1 إلى 6
فإذا ظهر عدد فردي, فإنهما يذهبان بسيارة سعد, أما إذا ظهر عدد زوجي, فيذهبان بسيارة مازن.

نلاحظ هنا أن: حادثة ظهور عدد فردي تمنع ظهور حادثة عدد زوجي, والعكس صحيح,
أي أن وقوع الحادثتين معاً غير ممكن. ومثل هذه الحوادث تسمى حوادث متنافية.




مثال:
ألقي مكعب متجانس مرة واحدة, فما احتمال ظهور عدد زوجي أو عدد يقبل القسمة على 3 ؟



الحل:
حادثة ظهور عدد زوجي لا تمنع ظهور حادثة ظهور عدد يقبل القسمة على 3
فمثلاً يمكن أن يظهر العدد 6 وهو زوجي, وفي الوقت نفسه العدد 6 يقبل القسمة على 3
الحادثتان غير متنافيتين.
ونلاحظ مما سبق: أن الحوادث المتنافية تتضمن احتمالات اتحاد حادثتين أو أكثر.

[أ.رحاب]

احتمال الحوادث المستقلة والحوادث المتنافية

. احتمال الحوادث المستقلة والحوادث المتنافية .

مثال:
أراد أبو مشاري الذهاب إلى مكة لأداء العمرة, على أن يصطحب معه واحداً من أبنائه الاثنين (مشاري, تركي) ولإنهاء الخلاف بين الولدين, صمم أبو مشاري التجربة الآتية:
صندوق يحتوي على 7 كرات بيضاء, 3 حمراء, على أن يسحب مشاري بصورة عشوائية للكرة الأولى, فإذا كانت حمراء ذهب إلى العمرة, ثم يعيد الكرة إلى الصندوق, ويسحب تركي بصورة عشوائية أيضاً كرة, فإذا كانت حمراء ذهب إلى العمرة.
فما احتمال أن يذهب مشاري وتركي إلى العمرة؟

* مفاهيم أساسية:

1- احتمال حادثتين مستقلتين:
إذا كانت الحادثتان A و B مستقلتين, فإن:
و: تدل على وقوع الحادثتين معاً, أي (تقاطع)

وبالرجوع إلى تجربة أبي مشاري, نلاحظ أن الحادثتين (سحب مشاري للكرة الأولى, ثم إعادتها وسحب تركي للكرة الثانية), هما حادثتان مستقلتان.
واحتمال ذهاب مشاري وتركي إلى العمرة, يعني احتمال سحب الكرة الأولى حمراء والثانية حمراء, أي أن:

2- احتمال الحادثتين المتنافيتين:
إذا كانت الحادثتان A و B متنافيتين, فإن احتمال وقوع A أو B هو:
أو: تدل على وقوع إحدى الحادثتين على الأقل, أي (اتحاد).

3- احتمال الحادثتين غير المتنافيتين:
إذا كانت الحادثتان A و B غير متنافيتين, فإن احتمال وقوع A أو B هو:

مثال:
مجموعة بطاقات عددها 21 بطاقة مقسمة في ثلاث مجموعات, ولكل مجموعة لون: الأحمر, الأزرق, الأبيض, ورقمت بطاقات كل لون من 1 إلى 7
ما احتمال سحب بطاقة عشوائياً تحمل الرقم 5 , أو سحب بطاقة بيضاء؟

الحل:
لتكن A حادثة سحب بطاقة تحمل الرقم 5 , و B حادثة سحب بطاقة لونها أبيض,
نلاحظ هنا أن سحب بطاقة تحمل الرقم 5 لا يمنع أن يكون لونها أبيض, أي أن الحادثتين A , B غير متنافيتين, وبذلك يكون:

4- احتمال الحادثة المتممة:
احتمال عدم وقوع حادثة يساوي 1 ناقص احتمال حدوث الحادثة.

مثال:
عند إلقاء مكعب متجانس مرة واحدة, فإن احتمال ظهور العدد 4 يساوي (1/ 6), وبذلك يكون احتمال عدم ظهور العدد 4 هو المتممة (5/ 6), أي أن:

الحل:

[أ.رحاب]

الاحتمال المشروط

. الاحتمال المشروط .

مثال:
أرادت مدرسة ثانوية إعطاء دورة تدريبية في اختبار القياس للصفين الثاني الثانوي والبالغ عددهم 120 طالباً, والثالث الثانوي والبالغ عددهم 80 طالباً,
وقد سجلت المدرسة حضور الطلاب لهذه الدورة كما في الجدول الآتي:

إذا تم اختيار طالب عشوائياً, فما احتمال أن يكون الطالب الحاضر إلى الدورة من الصف الثاني؟

* مفاهيم أساسية:

- يسمى احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A , احتمالاً مشروطاً, ويرمز له بالرمز (P(B|A ويقرأ احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A .
إذن الاحتمال المشروط: إذا كانت A , B حادثتين غير مستقلتين, فإن:

بالعودة إلى المثال السابق:
ليكن B حادثة حضور الطالب إلى الدورة, A حادثة طالب في الصف الثاني الثانوي,
فيصبح الاحتمال المشروط (الطالب حضر الدورة, علماً بأنه من الصف الثاني ثانوي) هو (P(B|A وبذلك يكون:

[أ.رحاب]

التحليل الاحصائي

. التحليل الاحصائي .



مثال:
سجل عزام العلامات التي حصل عليها في مادة الرياضيات من الصف الأول الابتدائي إلى الصف الثالث الثانوي:



أي من مقاييس النزعة المركزية يجب أن يستعمله عزام لوصف هذه العلامات؟

* مفاهيم أساسية:

1- مقاييس النزعة المركزية: بيانات تشتمل على متغير واحد, وأبرز هذه المقاييس.

مثال:
إشارة إلى علامات عزام في جدول العلامات, نلاحظ أن القيم ليس فيها علامات متطرفة, وبذلك يكون الوسط هو أفضل مقياس.




مثال:
قام مشعل بدراسة إحصائية شملت 625 شخصاً, قال 80% منهم أنهم مرتاحون للسيارات اليابانية الصنع, ما هامش خطأ المعاينة؟

الحل:
لاحظ أن الدراسة المسحية شملت عينة حجمها n=625 ولو كان حجم العينة أكبر, لكان هامش الخطأ أقل,
وهامش خطأ معاينة حجمها n , يمكن تقريبه بالقيمة

2- مقاييس التشتت: مقدار تباعد البيانات أو تقاربها من الوسط, ويوجد مقياسان للتشتت هما: التباين والانحراف المعياري.

وهناك قانونان لحساب الانحراف المعياري.

مثال:
حصل سعود على النسب الآتية في محاولاته الأربع لاختبار القدرات: 72 , 78 , 86 , 84 , أوجد الانحراف المعياري لعلامات سعود.

الحل:

[أ.رحاب]

الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية

. الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية .

مثال:
يريد مدرس الرياضة في مدرسة, تشكيل فريق لكرة القدم مكون من 8 طلاب, إذا تقدم للمشاركة في الفريق 6 طلاب من الصف الثاني الثانوي, و 10 طلاب من الصف الثالث الثانوي, واختير منهم 8 طلاب بصورة عشوائية, فما احتمال أن يشترك في الفريق طالبان من الصف الثاني الثانوي وستة طلاب من الصف الثالث الثانوي؟

* مفاهيم أساسية:

إذا كان عدد مرات النجاح لوقوع حادثة هو S من المرات, وعدد مرات الفشل في وقوع الحادثة نفسها هو f من المرات, فإن:

بالعودة إلى مثال تشكيل فريق كرة القدم, تكون خطوات الحل كما يأتي:
أ) نجد عدد طرق اختيار طالبين من بين 6 طلاب من الصف الثاني الثانوي (هنا الترتيب غير مهم) =
نجد عدد طرق اختيار 6 طلاب من 10 طلاب من الصف الثالث الثانوي (وهنا الترتيب غير مهم) =

ب) باستعمال مبدأ العد, يكون عدد النجاحات S يساوي:

ج) نجد عدد عناصر فضاء العينة S+f وهو يمثل عدد طرق اختيار طلاب من بين 16 طالباً, ويساوي:

د) نجد احتمال النجاح:

مثال:
عند رمي قطعتي متمايزتين مرة واحدة, فإن فضاء العينة هو:
T: يرمز لوجه القطعة النقدية.
L: يرمز لشعار القطعة النقدية.
{TT, TL , LT , LL}
إذا كان X متغيراً عشوائياً يدل على عدد مرات ظهور الشعار, فإن:
{X={0, 1 , 2

ويمكن تكوين جدول يمثل التوزيع الاحتمالي المنفصل كما يأتي:
التوزيع الاحتمالي المنفصل: جدول يربط بين كل قيمة من قيم المتغير العشوائي المنفصل X باحتمال وقوعه.

[أ.رحاب]

التوزيع الطبيعي

. التوزيع الطبيعي .

مثال:
يمكن لنواتج الفحص المخبري لقوة الدم أو مستوى الدهنيات عند البالغين أن تأخذ قيماً متصلة في فترة من الأعداد الحقيقية,
وأفضل مثال على التوزيعات الاحتمالية المتصلة هو التوزيع الطبيعي.

* مفاهيم أساسية:

خصائص التوزيع الطبيعي:
1- التمثيل البياني متصل, ويشبه الجرس, ومتماثل بالنسبة إلى الوسط.
2- يقترب المنحنى من محور x ولا يمسه.
3- المساحة تحت المنحنى تساوي 1 أو 100% .
4- يقع 68% تقريباً من البيانات ضمن الفترة
5- يقع 95% تقريباً من البيانات ضمن الفترة
6- يقع 99% تقريباً من البيانات ضمن الفترة

مثال:

تم توزيع معدلات 10000 طالب في اختبار الثانوية العامة توزيعاً طبيعياً, بوسط 80 وانحراف معياري 5

1- ما احتمال اختيار طالب عشوائياً معدله أكبر من 75 ؟
الحل:
نلاحظ التمثيل البياني, نجد أن:
34% + 34% + 13.5% + 2% + 0.5% = 84%

2- ما عدد الطلاب الذين معدلاتهم تتراوح بين 70 وَ 90 ؟
الحل:
نلاحظ التمثيل البياني, نجد أن:
13.5% + 34% + 34% + 13.5% = 95%
عدد الطلاب هو: 95% × 10000 = 9500 طالباً.

3- إذا كان عدد الطلاب الذين تزيد معدلاتهم عن 95% يساوي 50 طالباً, فما عدد الطلاب الذين تقل معدلاتهم عن 65% ؟
الحل:
بما أن المنحنى متماثل, فإن عددهم هو 50 طالباً.

[أ.رحاب]

التوزيعات ذات الحدين

. التوزيعات ذات الحدين .

مثال:
في مباراة لكرة القدم, كان احتمال نجاح عزام في تسجيل هدف من رمية حرة يبلغ 60% ,
فما احتمال أن يسجل 4 أهداف من 6 رميات حرة ؟

* مفاهيم أساسية:

تجربة ذات الحدين: هي تجربة تحقق الشروط الآتية:
1- يعاد إجراء التجربة لعدد محدد من المحاولات المستقلة ( .. مرة) .
2- لكل محاولة نتيجتان متوقعتان, نجاح S , فشل F .
3- احتمال النجاح نفسه في كل محاولة, رمزه (P(S أو p .
وبذلك يكون احتمال الفشل (P(F أو q هو المتممة, أي أن q=1-p .
4- يمثل المتغير العشوائي X عدد مرات النجاح في n من المحاولات.
5- احتمال X نجاح من n من المحاولات المستقلة في تجربة ذات الحدين هو:

بالعودة إلى مثال الرمية الحرة, نلاحظ ما يأتي:

عدد المحاولات n=6 وعدد مرات النجاح x=4

إذن p=60% ==> احتمال الفشل q=40%

مثال:
إذا كان احتمال ولادة ذكر يساوي احتمال ولادة انثى عند المرأة, فما احتمال أن يكون عدد الإناث 4 في خمس ولادات (دون توائم) ؟

الحل:
عدد المحاولات هو 5 , عدد مرات النجاح في الحصول على أنثى هو 4
احتمال ولادة أنثى يساوي احتمال ولادة ذكر, ويساوي (1/ 2) لذلك: