مفـهـوم: معادلة الدرجة الأولى والثانية والمعادلات الخطية بمجهولين.

[أ.رحاب]

بســم الله الرحمــن الرحيــم

المفاهيم العلمية: اختبار القدرات العامة - الجزء الكمي

مفـهـوم: معادلة الدرجة الأولى والثانية والمعادلات الخطية بمجهولين

في هذا الدرس سنتذكر أحد أهم مواضيع علم الرياضيات وهو الجبر.

وسوف نستذكر معاً ما يلي:
- مفهوم المعادلة
- معادلة الدرجة الأولى
- معادلة الدرجة الثانية
- المعادلة الخطية
- المعادلة الخطية بمجهولين

المصدر: مركز قياس
elearning qiyas

[أ.رحاب]

مثال من الواقع.

. مثال .

قام أحد الأشخاص بقياس مساحات الغرف الموجودة في منزله وجمع هذه المساحات من أجل أن يضيف سيراميكاً للأرضيات, فكان مجموع المساحات لكل الغرف هو 185 متراً, علماً بأن سعر المتر الواحد من نوع السيراميك الذي يريد شراءه يبلغ 23 ريالاً.

استعان الرجل بابنه من أجل أن يحسب له القيمة, فقام الابن باستخدام الطريقة الآتية في الحساب:

1 متر = 23 ريالاً
185 متراً = س ريـال

باستخدام خاصية الضرب التبادلي تبين ما يلي:



1 × س = 185 × 23
س = 185 × 23
س = 4255 ريالاً

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

الجملة الرياضية التي يرد فيها رمز المساواة ( = ) نسميها المعادلة الرياضية, فكل جملة من الجمل الرياضية التالية تسمى معادلة.

( 5س - 1 = 7 )
( 2س + 1 = 11 )

يتّضح مما سبق أن حل المعادلة هو عملية إيجاد مجموع الحل للمعادلة أي (العدد أو الأعداد التي تحقق صحة المعادلة).

2س = 11 - 1
2س = 10
س = 10/ 2
س = 5

[أ.رحاب]

بعض العلاقات.

تعد معادلة الدرجة الأولى من المعادلات المستخدمة في الجبر, ويهدف هذا الدرس إلى حل معادلات الدرجة الأولى والتي تأخذ الشكل الآتي:

س ( ص + ع ) = س ( ص + ع )







تذكر: مفاتيح حل معادلة الدرجة الأولى.

في حالة وجود أقواس في المعادلة من الدرجة الأولى, يجب عليك القيام بالخطوات الآتية:

5 ( س + 2 ) = 2 ( س + 8 )

1- فك تلك الأقواس قبل البدء بحل المعادلة.

5 س + 10 = 2 س + 16

2- وضع المجاهيل في طرف والأعداد في الطرف الآخر.

5 س + 2س = 16 + 10

3- إجراء عملية الجمع والطرح في طرفي المعادلة.

5 س - 2س = 16 - 10

3 س = 6

4- قسمة كل من طرفي المعادلة على العدد المشترك بين طرفيها.

3س/ 3 = 6/ 3

5- الناتج النهائي للمعادلة بدلالة المجهول.

س = 2

[أ.رحاب]

حل المسألة .

من المعادلات المستخدمة في الجبر معادلة الدرجة الثانية,


حيث يمكن حل هذا النوع من المعادلات إما عن طريق التحليل إلى العوامل أو باستخدام القانون العام.

. حل معادلة الدرجة الثانية باستخدام طريقة المقص .

مثال (1): حل المعادلة: 2س^2 + 7س + 5 = 0

خطوات الحل:

1- تحليل الحد الأول: (2س^2) + 7س + 5 = 0
2س^2 = 2س × س

2- تحليل الحد الثابت: 2س^2 + 7س (+ 5) = 0
+ 5 = +5 × +1
أو -5 × -1

3- تطبيق طريقة المقص:

4- الحالات الممكنة:

5- الحالة الأولى فقط تحقق الشرط.
فيكون تحليل الطرف الأيمن ( 2س + 5 ) ( س + 1 ) = 0
وعليه
2س + 5 = 0
2س = -5
س = -5/ 2

أو
س + 1 = 0
س = -1

مثال (2): حل المعادلة: 4 س^2 + 5 س - 6 = 0

خطوات الحل:

1- تحليل الحد الأول: ( 4 س^2 ) + 5 س - 6 = 0
4س^2 = 4 س × س
أو
2س × 2س

2- تحليل الحد الثاني: 4 س^2 + 5 س ( - 6 ) = 0
-6 = -3 × +2
أو +6 × -1
أو -2 × +3
أو -6 × +1

3- الحالات الممكنة:

4- نلاحظ أن الحالة الرابعة هي التي تحقق الشرط.
ومنها ..
(4س -3) (س+2) = 0

[أ.رحاب]

نشاط تطبيقي.

. نشاط تطبيقي .

المعادلات الخطية بمجهولين هي المعادلات التي يمكن أن تحل عن طريق حذف أحد المتغيرات وإيجاد قيمة المتغير الآخر.

- نضرب المعادلة الأولى في العدد 2:

3 س + 4 ص = 18

2 × ( 3 س + 4 ص ) = 2 × 18
6 س + 8 ص = 36

- نضرب المعادلة الثانية في العدد -3:

2 س + 3 ص = 13

-3 × ( 2س + 3ص ) = -3 × 13
-6س - 9ص = -39

- نحذف المعامل س عن طريق جمع المعادلتين:
6س + 8ص = 36
-6س - 9ص = -39

8 ص - 9 ص = - 3
- ص = - 3
ص = 3

- التعويض في المعادلة الأصلية:

3 س + 4 ص = 18

3 س + 4 × 3 = 18
3 س + 12 = 18
3 س = 6
س = 2

- حل المعادلة يعطي:
س = 2
ص = 3

[أ.رحاب]

الخلاصة.

. الخلاصة .



لقد استرجعنا من خلال تذكرنا في هذا الدرس:

المعادلة ومفهمومها, معادلات الدرجة الأولى وطريقة حلها , معادلات الدرجة الثانية , المعادلات الخطية , والمعادلات الخطية بمجهولين.