مفـهـوم: المستقيمات.

[أ.رحاب]

بســم الله الرحمــن الرحيــم

المفاهيم العلمية: اختبار القدرات العامة - الجزء الكمي

مفـهـوم: المستقيمات

في هذه الجزئية سنستذكر معاً, مفاهيم ومصطلحات مثل التوازي, التعامد, التقاطع والكثير من المفاهيم التي تتبادر إلى أذهاننا عند النظر إلى الخارطة مثلاُ.

مثال نقطة التقاء شارع بشارع آخر, أو طول المسافة من نقطة تقاطع طريقين إلى مكان محدد.

لذلك فإننا سنستذكر الآتي:
- النقطة والبعد بين نقطتين.
- المستقيم وميل القطعة المستقيمة.
- تنصيف القطعة المستقيمة.
- توازي المستقيمات.
- التعامد والتقاطع في المستقيمات.

المصدر: مركز قياس
elearning qiyas

[أ.رحاب]

مثال من الواقع.

. مثال .





ما أجمل مدينة الرياض, هذا ما كان أحمد يقوله لنفسه وهو ذاهب لزيارة صديقه خالد, أحمد يسكن ويعمل في القصيم وتلقى دعوة من صديقه خالد الذي انتقل حديثاً إلى الرياض, حيث فتح مكتباً يدير من خلاله أعماله, ووصف خالد عنوان مكتبه لأحمد.


[ طريق الملك فهد, عند تقاطعه مع شارع العروبة باتجاه الجنوب في طريق الخدمة الموازي لطريق الملك فهد, بعد 100 متر,
على اليمين عمارة مكتبة العبيكان, في الدور الثاني, المكتب رقم 5 ].


أخرج أحمد هاتفه النقال وفيه خدمة تحديد المواقع والخرائط, وعندها بدأ البحث في خارطة مدينة الرياض, لاحظ أن المدينة بنتظيمها العام للطرق الرئيسية,
هي عبارة عن طرق متوازية باتجاه الشمال والجنوب وتقطعها طرق متوازية باتجاه الشرق والغرب.

ومن خلال هذا التخطيط المنظم للطرق, والوصف الذي قدمه خالد, استطاع أحمد أن يصل إلى الموقع بكل يسر.

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

لنستذكر معاً بعض المفاهيم العامة.

الشعاع: هو الخط الذي يمر بنقطتين أو أكثر على استقامة واحدة, له نقطة بداية وليس له نهاية.

النقطة: هي تمثيل بياني في المستوى الإحداثي, حيث تتمثل في التقاء الإحداثي السيني مع الإحداثي الصادي, وتسمى النقطة (س , ص).

القطعة المستقيمة: هي الخط الذي يمر بنقطتين أو أكثر على استقامة واحدة, له نقطة بداية ونهاية, ويمكن قياس طوله.

المستقيم: هو الخط الذي يمر بنقطتين أو أكثر على استقامة واحدة, وليس له بداية ولا نهاية.

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

لنستذكر معاً بعض أهم القوانين:-
- ميل القطعة المستقيمة.
- النقطة والبعد بين نقطتين.
- تنصيف القطعة المستقيمة.
- التوازي.
- التقاطع والتعامد.

. ميل القطعة المستقيمة .

ميل المستقيم أ ب = [ (ص2 - ص1) ÷ (س2 - س1) ] ... حيث س2 لايساوي س1

إن نسبة فرق الإحداثي الصادي بين نقطتين تقعان على ذات الخط المستقيم إلى فرق الإحداثي السيني بينهما يساوي مقداراً ثابتاً,

وتسمى هذه النسبة الثابتة باسم "ميل الخط المستقيم" و نرمز لها بالحرف "م" .

مثال:
إذا كانت أ (3, 5) , ب (6 , 2) وكان المستقيمان أ ج , ب ج متقاطعين في النقطة ج
أوجد إحداثي ج , إذا علمت أم ميل أ ج يساوي (1) وميل ب ج يساوي (2) .

الحل:

. النقطة والبعد بين نقطتين .

البعد بين نقطتين:



أمثلة على تمثيل نقاط في المستوى الإحداثي:
النقطة أ = (2 , 2)
النقطة ب = (-1 , -1)
النقطة ج = (3 , 1)
النقطة د = (6 , 4)
النقطة هـ = (-3 , 1)
النقطة و = (-5 , 3)

مثال:
لنحسب المسافة بين النقطة أ (2 , 2) والنقطة و (-5 , 3) ؟

الحل:
بما أن إحداثي النقطتين معلومة, فإننا نطبق قانون البعد بين النقطتين.

أ و = جذر [ (-5 -2)^2 + (3 - 2)^2 ] = جذر50 = 5 جذر2

البعد بين النقطتين أ و = طول القطعة المستقيمة أ و

. تنصيف القطعة المستقيمة .

منتصف القطعة المستقيمة:



مثال:
إذا كانت أ ب قطعة مستقيمة بحيث أ (2 , 1) وكانت ج (4 , 2) نقطة منتصف القطعة أ ب , فما إحداثيات النقطة ب ؟

الحل:
نفرض أن إحداثي النقطة ب هما ( س1 , ص1 ).

وبما أن الإحداثي السيني لنقطة المنتصف ج يعطى بالعلاقة:
ج = [ ( س1 - س2 ) ÷ 2 ] = 4
وبما أن: س2 = 2
فإن: 4 = [ ( س1 - 2 ) ÷ 2 ]
ومنها: س1 = 6

وبالمثل: فإن الإحداثي الصادي لنقطة المنتصف يعطى بالعلاقة:
ج = [ ( ص1 - ص2 ) ÷ 2 ] = 2
وبما أن: 22 = 1
فإن: 2 = [ ( ص1 - 2 ) ÷ 2 ]
ومنها: ص1 = 3

إذن: إحداثي النقطة ب هما: ( 6 , 3 ).

. التوازي .

المستقيم أ ب , وميله (م1) , والمستقيم ج د وميله (م2).

إذا كان ( م1 = م2 ) فإن المستقيمين أ ب , ج د متوازيان. أي أن



مثال:
هل المستقيم 5ص -3س +7 = صفر يوازي المستقيم 15ص -9س -14 = صفر أم لا؟

الحل:
نجد ميل المستقيم الأول:
5ص -3س +7 = صفر
5ص = 3س -7
ص = (3/ 5)س - (7/ 5) ... إذن ميل هذا المستقيم (3/ 5)

نجد ميل المستقيم الثاني:
15ص -9س -14 = صفر
15ص = 9س +14
ص = (9س/ 15) + (14/ 15)
ص = (3/ 5)س + (14/ 15) ... إذن ميل هذا المستقيم (3/ 5)

وبما أن ميل المستقيم الأول = (3/ 5) أيضاً, فهذا يعني أن المستقيمين متوازيان.

. التقاطع والتعامد .

إذا تقاطع المستقيمان أ ب , ج د وكانت الزاوية الناتجة من تقاطعهما تساوي 90 درجة, فإن المستقيمين أ ب , ج د متعامدان.

ملاحظة: ميل أ ب هو م1, ميل ج د هو م2 ,,, عند تعامد المستقيمين فإن م1 × م2 = -1

مثال:
إذا كانت أ (-2 , 0) , ب (0 , 3) , ج (-1 , 7) , د (8 , 1) , هل المستقيمان أ ب , ج د متوازيان ام متقاطعان ؟
وإن كان المستقيمان متقاطعين, فهل هما متعاكدان أم لا ؟

الحل:

ميل أب = [ ( ص2 + ص1 ) ÷ ( س2 + س1 ) ] = [ ( 3 - 0 ) ÷ ( 0 - (-2) ) ] = 3/ 2

ميل ج د = [ ( ص2 + ص1 ) ÷ ( س2 + س1 ) ] = [ ( 1 - 7 ) ÷ ( 8 - (-2) ) ] = -6/ 9 = -2/ 3

نلاحظ أن ميل أ ب لايساوي ميل ج د
أي أن: شرط التوازي لم يتحقق,
إذن المستقيمان متقاطعان.


ونلاحظ أن ميل أ ب = - مقلوب كيل ج د
أي أن: (3/ 2) × (-2/ 3) = -1
وهذا يعني أن المستقيمين متعامدان.

[أ.رحاب]

الخلاصة.

. الخلاصة .

لقد استذكرنا معاً مفاهيم عامة تتعلق بالنقطة والمستقيم, ومصطلحات تتردد معنا كثيراً مثل التقاطع والتعامد والتوازي, وطول قطعة المستقيم ونقط المنتصف لقطع المستقيم وغيرها من المفاهيم والقوانين التي سنستخدمها كثيراً في موضوع الهندسة وتطبيقاتها.

- النقطة والبعد بين نقطتين.
- المستقيم وميل القطعة المستقيمة.
- تنصيف القطعة المستقيمة.
- توازي المستقيمات.
- التعامد والتقاطع في المستقيمات.