رياضيات: مفـهـوم - التناسب والتشابه

[أ.رحاب]

بســم الله الرحمــن الرحيــم

المفاهيم العلمية: اختبار التحصيلي العلمي - ريـاضيـات

مفـهـوم: التناسب والتشابه

سنستذكر في هذه الجزئية ما يأتي:

- كتابة التناسب واستعمال خصائصه.
- حل مسائل تتضمن مقياس الرسم.
- استعمال المثلثات المتشابهة لحل المثلث.
- علاقات التناسب بين المحيطات المتناظرة في المثلثات المتشابهة.
- علاقات التناسب بين منصفات الزوايا والارتفاعات والقطع المتوسطة المتناظرة للمثلثات المتشابهة.

المصدر: مركز قياس

[أ.رحاب]

التناسب

. التناسب .




* النسبة:

قال تعالى: { يُوصِيكُمُ اللَّهُ فِي أَوْلادِكُمْ ۖ لِلذَّكَرِ مِثْلُ حَظِّ الأُنْثَيَيْنِ ۚ } سورة النساء, آية 11 .

فالذكر يحصل على ضعف ما تحصل عليه الأنثى.

ويكتب ذلك

فالنسبة: مقارنة بين كميتين باستعمال القسمة.




مثال:

اشترك ثلاثة أشخاص في مشروع تجاري,

فإذا دفع الأول مبلغ 400,000 ريـال, و دفع الثاني 800,000 ريـال, ودفع الثالث 200,000 ريـال,

وفي نهاية العام كانت الأرباح لهذا المشروع 210,000 ريـال.

فكيف توزع هذه الأرباح بين الأشخاص الثلاثة؟

الحل:

نسبة ما دفعه الأشخاص الثلاثة هي:

الأول 400,000 ريـال
الثاني 800,000 ريـال
الثالث 200,000 ريـال

تبسيط النسب: 2 : 4 : 1

مجموع النسب: 2 + 4 + 1 = 7

الحصة الواحدة من الأرباح: 210,000/ 7 = 30.000

نصيب الأول: 2 × 30,000 = 60.000 ريـال

نصيب الثاني: 4 × 30,000 = 120,000 ريـال

نصيب الثالث: 1 × 30,000 = 30,000 ريـال

مجموع الأنصبة: 210,000 ريـال





* مفهوم أساسي:






مثال:



يشير مقياس الرسم على الخريطة إلى أن كل 2.5cm على الخريطة, تمثل 500km على الأرض,

فإذا كانت المسافة بين مدينتين على الخريطة تساوي 4cm , فكم تكون المسافة على الأرض بين المدينتين؟

الحل:

[أ.رحاب]

المضلعات المتشابهة والمثلثات المتشابهة

. المضلعات المتشابهة والمثلثات المتشابهة .

مثال:
حصل أحمد على شهادة الدكتوراة في مادة الرياضيات, فعمل والده على تكبير صورة الشهادة وتعليقها في صدر البيت افتخاراً بابنه,
حيث يلاحظ عند النظر إلى الشهادة الأصلية والصورة المكبرة عنها اختلاف أطوال الأضلاع, إلا أن لها الشكل نفسه, وهذا ما يسمى مضلعات متشابهة.

* تذكر:
1- يتشابه مضلعان إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة, وأطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة فحسب, ويقرا الرمز ~ مشابهاً لـِ .
2- من المهم جداً ترتيب رؤوس المضلع في أي عبارة, لأنه يبين الأضلاع المتناظرة والزوايا المتناظرة.
3- النسبة بين كل ضلعين متناظرين في المضلعين المتطابقين 1 : 1 وهما متشابهان.
4- إذا كان المثلثان متشابهين, فإن النسبة بين محيطيهما تساوي النسبة بين أطوال الأضلاع المتناظرة.

* تشابه مثلثين:

1- التشابهة بزاويتين (AA): إذا طابقت زاويتان في مثلث زاويتين في مثلث آخر, فإن المثلثين متشابهان

2- التشابهة بثلاث أضلاع (SSS): إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة, فإن المثلثين متشابهان.

مثال:

3- التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS): إذا كان طولا ضلعين في مثلث متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين في مثلث آخر, فإن الزاويتين المحصورتين متطابقتان.

مثال:

مثال:
وقف أحمد مجاوراً لبرج يريد تقدير ارتفاعه, فإذا كان طول أحمد 170cm وطول ظله 3.4m وكان طول ظل البرج في اللحظة نفسها 120m , فما طول البرج؟

الحل: