مفـهـوم: المثلث.

[أ.رحاب]

بســم الله الرحمــن الرحيــم

المفاهيم العلمية: اختبار القدرات العامة - الجزء الكمي

مفـهـوم: المثلث

في هذه الجزئية سوف نستذكر معاً أهم خصائص المثلثات,
مثل أنواعها المختلفة, كالمثلث القائم الزاوية, والمثلث المتطابق الضلعين, والمتطابق الأضلاع والمختلف الأضلاع,
وسنتذكر أيضاً نظرية فيتاعورس وتطبيقاتها.

المصدر: مركز قياس
elearning qiyas

[أ.رحاب]

مثال من الواقع.

. مثال .



شركة عالمية للحلويات أوجدت نوعاً جديداً من الحلوى وأسمته الكنز المدفون, بعض هذه القطع المثلثة تحوي في داخلها قطعة نقدية فضية صغيرة,

الحيلة في أن نميز "الكنز" عند البحث عنه في قطع الحلوى التي هي على شكل مثلثات متساوية الأضلاع.



كيف يمكن لنا تمييزها ؟

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

. تعريف المثلث .



المثلث هو شكل هندسي مكون من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا, مجموع زوايا أي المثلث هو 180ْ .
قياس < ب أ ج + قياس < أ ب ج + قياس < أ ب ج = 180ْ






مجموع طولي أي ضلعين في أي مثلث أكبر من طول الضلع الثالث,
أ ب + ب ج > أ ج
أ ب + أ ج > ب ج
أ ج + ب ج > أ ب






الضلع الأكبر في كل مثلث يقابل الزاوية الكبرى.
فالضلع ب ج يقابل < ب أ ج






الضلع الأوسط يقابل الزاوية الوسطى.
الضلع أ ب يقابل < أ ج ب






الضلع الأصغر يقابل الزاوية الصغى.
ب ج > أ ب > أ ج
قياس <ب أ ج > قياس <أ ج ب > قياس <أ ب ج

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

:: أنواع المثلثات ::
من الممكن تصنيف المثلثات تبعاً لأطوال أضلاعها كما يلي:



. مثلث متساوي الأضلاع .
هو مثلث جميع أضلاعه وزواياه متساوية, كما أن قياس كل منها 60 درجة.






. مثلث متساوي الضلعين .
ويسمى أيضاً متساوي الساقين.
هو مثلث فيه ضلعان متساويان, والزاويتان المقابلتان لهذين الضلعين متساويتان أيضاً.






. مثلث مختلف الأضلاع .
هو مثلث أطوال أضلاعه مختلفة, وزواياه مختلفة القياس أيضاً.






. مثلث قائم الزاوية .
له زاوية قياسها 90 درجة (زاوية قائمة),
يدعى الضلع المقابل للزاوية القائمة بالوتر, وهو أطول أضلاع هذا المثلث.






. مثلث منفرج الزاوية .
له زاوية قياسها أكبر من 90 درجة, وأصغر من 180 درجة. (زاوية منفرجة).






. مثلث حاد الزوايا .
كل زواياه قياسها أصغر من 90 درجة, (زواياه حادة).

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

. ارتفاع المثلث .
الارتفاع في المثلث هو مستقيم ينزل من رأس المثلث على الضلع المقابل ويعمده.
في كل مثلث ثلاثة ارتفاعات تلتقي في نقطة واحدة, حيث يمكن أن يكون الارتفاع داخل المثلث أو خارجه أو أحد أضلاعه,
وهذه النقطة تبعد البعد نفسه عن رؤوس المثلث.






. منصف الزاوية .
هو المستقيم الذي ينصف الزاوية إلى جزأين متساويين.
في كل مثلث ثلاثة منصفات.
زواياه تلتقي كلها نقطة واحدة, وهي مركز الدائرة الداخلية المحصورة داخل المثلث.

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

. تشابه المثلثات .
يتشابه المثلثان إذا اشتركت بينهما العوامل الآتية:



1- يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاويتان من أحدهما مع زاويتين من الآخر.






2- يتشابه مثلثان إذا تساوت زاوية من أحدهما مع زاوية من الآخر, وتناسب ضلعا إحدى هاتين الزاويتين مع ضلعي الزاوية الأخرى.






3- يتشابه المثلثان إذا تناسبت أضلاعهما.

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

. تطابق المثلثات .
تعني تطابق جميع الزوايا والأضلاع في مثلثين أو أكثر,
فلو وجدنا مثلثاً تتطابق فيه الزوايا بالإضافة إلى الأضلاع في مثلث آخر, فإننا نسمي المثلثين متطابقين.

وهناك مجموعة من الحالات التي نعرف فيها إذا كانا متطابقين أو ليسا متطابقين:




1- يتطابق المثلثان إذا تطابقت أضلاع أحدهما أضلاع المثلث الآخر.






2- يتطابق المثلثان إذا تطابق في أحدهما ضلعان والزاوية المحصورة بينهما مع ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في المثلث الآخر.






3- يتطابق المثلثان إذا تطابقت في أحدهما زاويتان والضلع الواصل بين رأسيهما مع زاويتين والضلع الواصل بينهما في المثلث الآخر.






4- يتطابق مثلثان قائما الزاوية إذا تطابق الوتر وضلع في أحدهما مع الوتر وضلع في المثلث الآخر.

[أ.رحاب]

رموز ومصطلحات.

. نظرية فيتاغورس .




[ مساحة المربع المنشأ على وتر المثلث القائم الزاوية تساوي مجموع المربعين المنشاين على الضلعين الآخرين. ]

حيث:
أ ج = طول ضلع القائمة الأول في المثلث القائم الزاوية.
ب ج = طول ضلع القائمة الثاني في المثلث القائم الزاوية.
أ ب = طول الوتر في المثلث قائم الزاوية.
من المعادلة الرياضية أعلاه نستطيع الآن أن نوجد طول أي ضلع من أضلاع المثلث القائم الزاوية بدلالة طولي ضلعيه الآخرين.

[أ.رحاب]

الخلاصة.

. الخلاصة .



لقد استذكرنا معاً مجموعة من المفاهيم الأساسية في المثلثات وتطبيقاتها, وتذكرنا أيضاً نظرية فيتاغورس.